先来看结论：

这个结论被多位数学大师发现：

• 最早由大数学家欧拉发现，并记录在他的手稿当中。
• 数学家黎曼提出大名鼎鼎的黎曼函数，而 “全体自然数之和等于 -1/12” 正是黎曼函数自变量取 -1 的结果。
• 印度数学家拉马努金定义 “拉马努金和”，根据 “拉马努金和” 也可以得出 “全体自然数之和等于 -1/12” 的结论。

这个公式在物理学中有实际的应用，在黑洞计算、量子力学、超弦理论中都有使用到。超弦理论算出了我们的宇宙有十一个维度，而要得出十一维空间这个结论，就必须依靠这个等式。

证明方法

严谨的数学证明方法比较深奥，可参考知乎上的文章 。

这里记录一下另一种巧妙的证明方式。

令

• S = 1+2+3+4+5+6+……
• S1 = 1-1+1-1+1-1+……

于是

1-S1 = 1-1+1-1+1-1+…… = S1

S1 = 1/2

再令

• S2 = 1-2+3-4+5-6+7-……

2 * S2 =（1-2+3-4+5-6+7-……）+（0+1-2+3-4+5-6+7-……）
= 1-1+1-1+1-1+…… = S1

于是

S2 = 1/2 * S1 = 1/4

S-S2 =（1+2+3+4+5+6+……）-（1-2+3-4+5-6+7-……）
= 0+4+0+8+0+12+0+……
= 4 *（1+2+3+4+5+6+……）
= 4S

于是

S =（-1/3）S2 = -1/12

即是 1+2+3+4+5+6+…… = -1/12